\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows, shapes}


\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }


\begin{document}
	\section{时空图}
    \footnote{本笔记使用AI辅助}
	在狭义相对论中，由于Lorentz变换同时变换了时间与空间，
	因此我们往往描述显式描述粒子或事件的“4-坐标”$\bvec r = (ct,x,y,z)^T$。
	在这种情况下，我们自然地想往三维坐标系$x,y,z$中添加时间轴$t$，于是就得到了“四维”的时空图$t,x,y,z$。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{spd}
		\caption{a. $x-y$坐标系视图 b. $x-y-t$时空图}
		\label{fig:spd}
	\end{figure}
	
	上图展示了某一参考系$S1$中，一个做圆周运动的粒子的轨迹。
	可见，时空图更好地展示了粒子的运动过程。
	在时空图中，粒子的运动轨迹被称为“世界线”。
	
	由于纸面上很难画出三维空间（更画不出四维空间），为了简明起见，大多情况下我们只会画出$x-t$图像，而省略$y,z$轴。
	
	\section{时空图下的Lorentz变换}
	接下来我们要思考，参考系变换在时空图中意味着什么。
	我们按惯例引入两个参考系，$S1$与$S2$，且$S2$相对$S1$向右以速度$v$运动，$t=0$时二参考系重合。
	根据Lorentz变换：
	\begin{equation}
		\bvec r^{(2)} = \Lambda r^{(1)}
		\qquad 
		\Lambda = \begin{pmatrix}
			\gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \\
			-\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	其中$\bvec r^{(1)}$是粒子在参考系$S1$中的4-坐标，$\bvec r^{(2)}$是粒子在参考系$S2$中的4-坐标，$\Lambda$是Lorentz变换矩阵。
	改写上式，
	\begin{equation}
		\Lambda^{-1} \bvec r^{(2)} = I \bvec r^{(1)}
		\qquad 			
		\Lambda^{-1} = \begin{pmatrix}
			\gamma & \gamma v/c & 0 & 0 \\
			\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	其中$I$是单位阵。容易证明$\Lambda^{-1}$只需要相应改变$\Lambda$中速度的符号。
	
	根据被动变换的观点，上式相当于同一事物（“粒子的时空位置”）在不同基（参考系）下的表示。
	在$S1$看来，粒子的4-坐标是$\bvec r^{(1)}$，而在$S2$看来，粒子的坐标是$\bvec r^{(2)}$。
	$\Lambda^{-1}$表现了$S1$的观察者看到的$S2$参考系的基。
	
	不大严谨地说，$S1$参考系的观察者认为$S2$参考系的观察者正使用“扭曲的尺子”测量，因此他们测量到的粒子的4-坐标不同
	（当然，处于$S2$系的观察者仍认为自己的“尺子”是正常的）。
	
	\newpage
	现在，我们将$S1$和$S2$的基画到时空图上。
	我们发现，仅需做简单投影就可以读出事件$A$在$S1,S2$中的4-坐标。
	这是时空图的便捷之处，便于我们转换参考系。
	一眼看出，分别位于$S1,S2$参考系的观察者将看到事件$A$的不同4-坐标：
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{scope}[shift={(0,0)},scale=0.5]
				% 绘制坐标轴
				\draw[->] (0,0) -- (0,5) node[above]{$t^{(1)}$}; % t轴
				\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$x^{(1)}$}; % x轴
				
				\draw[blue,->] (0,0) -- (2.5,5.7) node[above]{$t^{(2)}$}; % t轴
				\draw[blue,->] (0,0) -- (5.7,2.5) node[right]{$x^{(2)}$}; % x轴
				
				\filldraw (4,3) circle (2pt) node[right]{$A$};
				
				\draw[dashed] (4,0)--(4,3);
				\draw[dashed] (0,3)--(4,3);
				
				\draw[blue,dashed] (3.2,1.4) -- (4,3);
				\draw[blue,dashed] (0.67,1.5) -- (4,3);
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{事件$A$在参考系$S1,S2$中的4-坐标}
	\end{figure}
	
	接下来我们考虑一个$S1$中静止的粒子。在$S1$中静止粒子的世界线应该平行于$t$轴（因为其$x$坐标保持不变）;
	然而，在$S2$中的观察者将观察到粒子正向左运动：
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{scope}[shift={(0,0)},scale=0.5]
				% 绘制坐标轴
				\draw[->] (0,0) -- (0,5) node[above]{$t^{(1)}$}; % t轴
				\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$x^{(1)}$}; % x轴
				
				\draw[blue,->] (0,0) -- (2.5,5.7) node[above]{$t^{(2)}$}; % t轴
				\draw[blue,->] (0,0) -- (5.7,2.5) node[right]{$x^{(2)}$}; % x轴
				
				\draw (2,0)--(2,5);
				
				\draw[dashed] (2,1) circle(2pt);
				\draw[dashed] (2,2) circle(2pt);
				\draw[dashed] (2,3) circle(2pt);
				
				
				\draw[blue,dashed] (1.9,0.8) -- (2,1);	
				\draw[blue,dashed] (1.28,0.56) -- (2,2);	
				\draw[blue,dashed] (0.64,0.28) -- (2,3);	
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{粒子在参考系$S1,S2$中的4-坐标}
	\end{figure}
	
	时空图还可以帮助我们快速理解很多相对论的结论，例如，相对性的同时性。
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{scope}[shift={(0,0)},scale=0.5]
				% 绘制坐标轴
				\draw[->] (0,0) -- (0,5) node[above]{$t^{(1)}$}; % t轴
				\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$x^{(1)}$}; % x轴
				
				\draw[blue,->] (0,0) -- (2.5,5.7) node[above]{$t^{(2)}$}; % t轴
				\draw[blue,->] (0,0) -- (5.7,2.5) node[right]{$x^{(2)}$}; % x轴
				
				\filldraw (4,3) circle (2pt) node[right]{$B$};
				\filldraw (2,3) circle (2pt) node[right]{$A$};
				
				\draw[dashed] (4,0)--(4,3);
				\draw[dashed] (0,3)--(4,3);
				\draw[dashed] (2,0)--(2,3);
				
				\draw[blue,dashed] (3.2,1.4) -- (4,3);
				\draw[blue,dashed] (0.67,1.5) -- (4,3);
				
				\draw[blue,dashed] (1.15,2.6) -- (2,3);	
				\draw[blue,dashed] (0.64,0.28) -- (2,3);			
				
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{事件$A, B$在参考系$S1,S2$中的4-坐标}
	\end{figure}
	
	如图所述，两个事件$A,B$在$S1$中在同一时刻发生，而在$S2$中在不同时刻发生。
	
	\newpage
	
	\section{时空图下的Galilean变换}
	有些小伙伴可能一下子无法接受相对论的Lorentz变换，因此我们转而使用时空图的语言描述经典力学的Galilean变换作为对比
	（尽管似乎很少人这么做，但也不是不可行）。
	在Galilean变换下，4-坐标的转换关系是
	\begin{equation}
		\bvec r^{(2)} = G r^{(1)}
		\qquad 
		G = \begin{pmatrix}
			1 & 0 & 0 & 0 \\
			- v/c & 1 & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	\begin{equation}
		G^{-1} \bvec r^{(2)} = I r^{(1)}
		\qquad 
		G^{-1} = \begin{pmatrix}
			1 & 0 & 0 & 0 \\
			v/c & 1 & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	使用相同的技巧，我们画出基并读出$A$在两个参考系下的坐标。
	可见，Galilean变换下，基的变换更像是剪切，并且$x$轴保持不变。
	这使得所有参考系都“共享”相同的时间，并且也没有尺缩效应等。
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{scope}[shift={(0,0)},scale=0.8]
				% 绘制坐标轴
				\draw[->] (0,0) -- (0,5) node[above]{$t^{(1)}$}; % t轴
				\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$x^{(1)}$}; % x轴
				
				\draw[blue,->] (0,0) -- (0.5,5) node[above]{$t^{(2)}$}; % t轴
				\draw[blue,->] (0,0) -- (5,0) node[right,above]{$x^{(2)}$}; % x轴
				
				\filldraw (4,3) circle (2pt) node[right]{$A$};
				
				\draw[dashed] (4,0)--(4,3);
				\draw[dashed] (0,3)--(4,3);
				
				\draw[blue,dashed] (0,3) -- (4,3);
				\draw[blue,dashed] (3.7,0) -- (4,3);
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{事件$A$在参考系$S1,S2$中的4-坐标}
	\end{figure}

	再举一个$S1$中的静止粒子作为例子。
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{scope}[shift={(0,0)},scale=0.8]
				% 绘制坐标轴
				\draw[->] (0,0) -- (0,5) node[above]{$t^{(1)}$}; % t轴
				\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$x^{(1)}$}; % x轴
				
				\draw[blue,->] (0,0) -- (0.5,5) node[above]{$t^{(2)}$}; % t轴
				\draw[blue,->] (0,0) -- (5,0) node[right,above]{$x^{(2)}$}; % x轴
				
				\draw (2,0)--(2,5);
				
				\draw[dashed] (2,1) circle(2pt);
				\draw[dashed] (2,2) circle(2pt);
				\draw[dashed] (2,3) circle(2pt);
				
				\draw[blue,dashed] (1.9,0) -- (2,1);
				\draw[blue,dashed] (1.8,0) -- (2,2);
				\draw[blue,dashed] (1.7,0) -- (2,3);
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{粒子在参考系$S1,S2$中的4-坐标}
	\end{figure}
\end{document}